Dynamik

Die Vollendung des Kölner Doms um 1870 sollte mit einer gewaltigen Glocke gewürdigt werden, welche der Bedeutung des Bauwerks entsprach. Im Oktober 1874 wurde die Kaiserglocke gegossen. Sie hatte eine Masse von 27.075 Tonnen, erreichte einen Durchmesser von 3.42 m und war 3.25 m hoch. Die Glocke galt damit als die die größte auf dem europäischen Kontinent. Der Klöppel besaß eine Länge von 3.13 m; er wog 1050kg.

Das Probeläuten am 7. August 1878 war ein tragikomisches Ereignis; 28 Kürassiere, die zum Läuten abkommandiert waren, versuchten vergebens, den Koloss zum Tönen zu bringen. Augenzeugen berichteten, der Klöppel habe, scheinbar fixiert, synchron mit der Glocke geschwungen. Im Volksmund wurde sie daraufhin als Stumme von Köln bezeichnet.

Erstellen Sie die Lagrangefunktion eines physikalischen Doppelpendels (s. Skizze) und leiten Sie daraus die Bewegungsgleichungen für Glocke (Schwerpunkt S_A, Masse m_A, Massenträgheitsmoment J_A) und Klöppel (Schwerpunkt S_B, Masse m_B, Massenträgheitsmoment J_B) ab. Die Massenträgheitsmomente beider Pendel beziehen sich auf ihre Aufhängepunkte.

Analysieren Sie die Schwingungsgleichungen und formulieren Sie die Bedingung für eine stumme Glocke.

Wie könnte ein Algorithmus zur numerischen Lösung der Bewegungsgleichungen aussehen?

Ein 2-armiger Roboter wird durch zwei Stellmotoren in den skizzierten Aufhängepunkten angetrieben. Das Verstellmoment im Schwerpunkt S_A des Greifarms mit der Masse m_A hat den Wert M_A. Der Arm B besitzt das Massenträgheitsmoment Θ_B bezogen auf seine Drehachse durch den Gesamtschwerpunkt S_G des Systems. Der Abstand zwischen S_G und S_A sei R.

Mit welcher Winkelbeschleunigung dω_B/dt rotiert der Arm B bei Ausfall seines Stellmotors?

Reibungseffekte oder mechanische Hemmungen sollen vernachlässigt werden.

Berechnen Sie die lokalen Längs- und Querkräfte, die lokalen Biegemomente sowie die Verformungen eines aus der Senkrechten fallenden Schornsteins der Länge L und der Masse m. Verwenden Sie dazu das vereinfachende Modell eines drehbar gelagerten, kippenden, langen, schmalen, elastischen Stabs (s. Skizze).

Wo im Stab nimmt das lokale Biegemoment einen Extremwert an?

Wie variieren die Lagerkräfte mit dem Winkel φ?

Analysieren Sie unter Verwendung der Eulerschen Kreiselgleichungen die Dynamik eines momentenfreien, symmetrischen Kreisels mit den Hauptträgheitsmomenten J₁, J₂, J₃. Wie stehen Figurenachse, Winkelgeschwindigkeits- und Drehimpulsvektor zueinander?

Welche dynamischen Relationen bestehen zwischen diesen Kenngrößen?

Welchen Wert hat die kinetische Energie des Kreisels?

Ermitteln Sie die kinematische Beziehung zwischen beiden Achsen des skizzierten Kreuzgelenks.