Elastizität / Thermoelastizität
Für Geknickte
Welche Faktoren führten letztendlich zum Einsturz der Zwillingstürme des World Trade Centers nach dem Terroranschlag am 11.9.01?
Für Nachgiebige
Ein integrierter Schaltkreis (Länge a, Breite a, Höhe h), fixiert auf einem starren Steckersockel, wird im Betrieb um die Temperatur ΔT erwärmt. Der Chip weist eine Sandwichstruktur, bestehend aus 3 fest miteinander verbundenen Schichten gleicher Dicke h/3 auf. Boden- und Deckschicht (Index 1) bestehen aus dem gleichen Material (Wärmeausdehnungkoeffizient α1, Elastizitätsmodul E1, Querdehnzahl ν1). Der Werkstoff der Mittelschicht (Index 2) besitzt die Kennwerte (α2, E2, ν2).
Um welchen Betrag verlängern sich die Seiten a?
Wie groß sind die mechanischen Zwangspannungen in den einzelnen Schichten bei Erwärmung des Chips?
Es wird näherungsweise angenommen, dass die Spannungen innerhalb einer Schicht konstant sind. Im mechanischen Ersatzmodell (s. Skizze) werden die fixierenden, elastischen Steckkontakte durch federnd gelagerte, starre, bewegliche Platten ersetzt (Federkonstanten k). Die thermische Ausdehnung in Höhenrichtung sei nicht behindert.
a=3 cm, h=1.2 cm, k=100N/μm, ΔT=50 K, E1=80 GPa, E2=120 GPa, ν1=0.2, ν2=0.3, α1=2·10-5/K, α2=5·10-5/K
Δa=49 μm, σxx1=σyy1=63.7 MPa, σxx2=σyy2=-147.9 MPa
Für Pontifices
Berechnen Sie die Reaktionskräfte in den Lagern des skizzierten Biegeträgers der Länge L, welcher mit einer konstanten Linienkraft q belastet ist. Betrachten Sie die statisch unbestimmte Lagerung der Anordnung als Superposition bekannter Standardlösungen der Elastizitätstheorie. Variieren Sie die Abstände a>0, c>0 zwischen den Lagern (s. a. Diagramm rechte Spalte).
Vergleichen Sie Ihre Resultate mit denen der folgenden Java-Applikation.
Hinweis: Negative Lagerkräfte kennzeichnen die Zwangsbindung des Biegeträgers an die Lager; ohne diese Bindung würde das (elastisch verformte) Bauteil nicht auf den entsprechenden Stützen aufliegen.
Für Angeeckte
Welche Werte haben die Hauptflächenmomente 2. Ordnung eines Biegeträgers mit dem skizzierten Winkelprofil?
Unter welchem Winkel zur y*-Achse des skizzierten Schwerpunktsystems liegt das Hauptachsensystem?
Der Biegeträger wird zentrisch lokal mit einem Biegemoment My belastet; unter welchem Winkel zur y*-Achse liegt die Normale zur Spannungsnull-Linie?
B=50 mm, H=10 mm, b=10 mm, h=20 mm
176709 mm4, 29242 mm4 , -17.8°, 69.2°
Für Redundante
Ein elastischer Balken (Flächenmoment 2. Ordnung I, Elastizitätsmodul E, Länge L) ist auf drei Stützen statisch unbestimmt gelagert (s. Skizze). Bis zu welchem maximalen Abstand c zwischen linkem und mittlerem Lager ist das rechte Lager B noch sinnvoll, wenn der Träger mit einer konstanten Linienlast q belastet wird?
Auf das rechte Lager kann spätestens dann verzichtet werden, wenn der Biegeträger dort nicht mehr aufliegt. Betrachten Sie das Problem als Superposition bekannter Standardlösungen.
c < 0.697 L
Für Opportunisten
Der skizzierte, statisch unbestimmt gelagerte Biegeträger (Flächenmoment 2. Ordnung IB, Elastizitätsmodul E) steht unter der Wirkung einer Linienlast q.
Welchen Wert muss das Flächenmoment 2. Ordnung IP des stützenden, vertikalen Pfeilers (Elastizitätsmodul E, Höhe h) bei der gegebenen Belastung q mindestens haben, so dass er nicht ausknickt.
Betrachten Sie die vorliegende Anordnung als Superposition bekannter, statisch bestimmt gelagerter Standardfälle.
L=10 m, IB=400 cm4, E=120 GPa, q=400 N/m, h=5 m
Für Gestützte
Berechnen Sie die Lagerreaktionen des statisch unbestimmt gelagerten Biegeträgers (Länge L, Elastizitätsmodul E, Flächenmoment 2. Ordnung I) sowohl an der festen Einspannung links als auch im Loslager bei x=a.
Welchen Wert nimmt die Durchbiegung am freien Ende des Balkens an?
L = 8 m, a = 5.92 m, q = 0.25 kN/m, E = 180 GPa, I = 200 cm4
788 N, -825 Nm, 1212 N, 0.006 mm